Nieuwe bovengrens voor kussen in hogere dimensies

Frank Vallentin van het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) en Christine Bachoc van de Université Bordeaux hebben nieuwe bovengrenzen gevonden voor het 'kussen' in hogere dimensies. In de meetkunde is het kusgetal het maximum aantal eenheidsbollen dat tegelijkertijd een centrale bol kan raken, zonder elkaar te overlappen. In twee dimensies is het kusgetal zes. Dit kun je goed zien als je euro's om een centrale euromunt groepeert. Het kusgetal is alleen bekend in de dimensies 1, 2, 3, 4, 8 en 24.

Date: Oct 02, 2006

Frank Vallentin van het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) en Christine Bachoc van de Université Bordeaux hebben nieuwe bovengrenzen gevonden voor het 'kussen' in hogere dimensies. In de meetkunde is het kusgetal het maximum aantal eenheidsbollen dat tegelijkertijd een centrale bol kan raken, zonder elkaar te overlappen. In twee dimensies is het kusgetal zes. Dit kun je goed zien als je euro's om een centrale euromunt groepeert. Het kusgetal is alleen bekend in de dimensies 1, 2, 3, 4, 8 en 24. Voor de dimensies 5, 6, 7, 9 en 10 vonden Vallentin en Bachoc nu betere bovengrenzen. Op vrijdag 24 november geeft Frank Vallentin een lezing over dit onderwerp op het CWI in Amsterdam.

Het kusprobleem heeft een rijke historie. Isaac Newton en David Gregory hielden in 1684 een beroemd geworden discussie over het kusgetal in drie dimensies. Gregory beweerde dat er dertien ballen om een bal zouden passen terwijl Newton claimde dat het kusgetal twaalf was. Dat Newton gelijk had, werd pas in 1953 aangetoond door Schütte en Van der Waerden. In de jaren '70 van de twintigste eeuw ontwikkelde Delsarte een methode om de bovengrens van het kusgetal te bepalen, gebaseerd op lineair programmeren. Voor bijvoorbeeld vier dimensies is de Delsarte-grens 25 terwijl het exacte getal 24 is, bewezen door Musin in 2003.

Vallentin en Bachoc ontwikkelden nu een nieuwe methode om de bovengrens van het kusgetal te bepalen, gebaseerd op representatietheorie en semidefiniet programmeren. Voor alle dimensies vonden de wiskundigen de tot nu toe beste bovengrens. Voor de dimensies 1, 2, 3, 4, 8 en 24 vonden zij opnieuw het precieze kusgetal. In vijf dimensies brachten ze de bovengrens van 45 terug tot 44, terwijl er bijvoorbeeld in tien dimensies 27 bollen minder bleken te kunnen kussen dan bekend was. De onderzoekers gebruikten voor hun methode resultaten van Spinozawinnaar Lex Schrijver. Zij gaven hun vinding in augustus vrij op internetarchief arxiv.org. Het onderzoek naar kusgetallen heeft toepassingen in de meetkunde, de radiocommunicatie, error correcting codes en snaartheorie in de theoretische natuurkunde.

 

Zie ook het artikel