Wiskundigen ontwarren raadsel ineengedraaide touwtjes

Wie kent niet het verschijnsel van een telefoonsnoer dat zich steeds verder opkrult? Tot nu toe was de wiskundige beschrijving van dit type kronkels alleen bekend voor gesloten krommen, zoals elastiekjes. Onderzoeker Bob Planqué van het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) in Amsterdam bestudeerde het gedrag van gedraaide touwtjes met losse uiteindes. Op 7 april promoveert hij aan de Technische Universiteit Eindhoven (TU/e).

Publication date: 31-03-2005

Wie kent niet het verschijnsel van een telefoonsnoer dat zich steeds verder opkrult? Tot nu toe was de wiskundige beschrijving van dit type kronkels alleen bekend voor gesloten krommen, zoals elastiekjes. Onderzoeker Bob Planqué van het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) in Amsterdam bestudeerde het gedrag van gedraaide touwtjes met losse uiteindes. Op 7 april promoveert hij aan de Technische Universiteit Eindhoven (TU/e).

Promovendus Planqué wilde precies begrijpen waar een opgekruld touwtje zichzelf raakt: waar de contactpunten liggen en hoe de krachten binnen het touw worden overgedragen. Dit is een complex probleem. Dat begint al bij de begrippen waarmee de draaiingen kunnen worden beschreven. De kronkels van gesloten krommes - zoals elastiekjes - kunnen beschreven worden met drie maten: de 'writhe', de 'link' en de 'twist'. De writhe neemt toe als een gesloten draad uit een plat vlak draait. Link ontstaat als je de uiteindes losknipt en die na een draai weer aan elkaar plakt. Tot slot is er de twist, de plaatselijke draaiing rondom de lengte-as. Voor wie het nog niet duizelt: voor gesloten krommes geldt dat twist plus writhe altijd gelijk is aan de link.

Van elastiekje naar DNA
De wiskundige beschrijving van de energie van deze kronkels is ingewikkeld en het wordt helemaal moeilijk als je, zoals Planqué, naar losse snoeren gaat kijken. De link is bij open snoeren bijvoorbeeld niet meer gedefinieerd. Verder kan een draad makkelijk opgekruld worden tot een toestand die weliswaar erg stabiel is maar die niet optimaal is. Er zijn veel van deze plaatselijke 'energieminima'. Ook blijken er veel fysisch onmogelijke toestanden te zijn, toestanden waarbij een touw zichzelf zou doorsnijden. Dit maakt de analyse zeer moeilijk.

Planqué en zijn promotor Mark Peletier (TU/e) hebben daarom een speciaal geval bekeken: een snoer rond een cilinder. Het snoer ligt tegen zichzelf aan maar het aantal contactpunten waar krachten worden overgedragen blijkt verrassend genoeg beperkt te zijn. Over grote delen van het snoer waar het met zichzelf in aanraking komt oefent het snoer helemaal geen kracht uit op zichzelf. Naast touwtjes bestudeerde Planqué tijdens zijn promotieonderzoek ook ondermeer de vorming van membranen uit lipide-moleculen, een probleem dat wiskundig nauw verwant is. Planqué's onderzoek maakt de weg vrij voor de wiskundige bestudering van ingewikkelder situaties, waaronder de studie van DNA-moleculen.

Illustratie 1. Lokaal energieminimum van een gekronkeld touwtje, een vrij stabiele configuratie. Illustratie R. Planqué, CWI.

Illustratie 2. Een typische configuratie van een snoer rond een cilinder. Het snoer maakt contact met zichzelf over een lang interval maar krachten worden alleen overgebracht in de aangegeven punten. Illustratie R. Planqué, CWI.
snoer_rond_cilinder