Ruimtelijke toevalsprocessen: doolhoven, diffusie en bosbranden

De grillige beweging van een stuifmeelkorreltje in water en het bestaan van paden in een doolhof. Zo op het oog hebben ze weinig met elkaar te maken maar schijn bedriegt. Sinds kort kunnen wiskundige theorieën over deze onderwerpen samengevoegd worden, met toepassingen op onverwachte gebieden. Rob van den Berg, onderzoeker van het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) in Amsterdam, spreekt hierover in zijn inaugurele rede op woensdag 15 juni om 15.45 uur als hoogleraar in de Ruimtelijke stochastiek aan de Vrije Universiteit Amsterdam. Zijn oratie is getiteld 'Kans en Ruimte'.

Date: Jun 09, 2005

De grillige beweging van een stuifmeelkorreltje in water en het bestaan van paden in een doolhof. Zo op het oog hebben ze weinig met elkaar te maken maar schijn bedriegt. Sinds kort kunnen wiskundige theorieën over deze onderwerpen samengevoegd worden, met toepassingen op onverwachte gebieden. Rob van den Berg, onderzoeker van het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) in Amsterdam, spreekt hierover in zijn inaugurele rede op woensdag 15 juni om 15.45 uur als hoogleraar in de Ruimtelijke stochastiek aan de Vrije Universiteit Amsterdam. Zijn oratie is getiteld 'Kans en Ruimte'.

Gasmaskers
Van den Berg gaat in zijn rede eerst in op de geschiedenis van de samengevoegde theorieën. Halverwege de jaren vijftig van de vorige eeuw onderzocht wiskundige John Hammersley de werking en structuur van gasmaskers. Het filter van het gasmasker werd voorgesteld als een toevallige structuur van poriën in een rooster. Sommige poriën staan met elkaar in verbinding. Hammersley onderzocht het bestaan van zulke verbindingen (paden) tussen ver van elkaar gelegen locaties in dit 'random doolhof'. Hij ontwikkelde zo het vakgebied dat percolatietheorie wordt genoemd.

Opties
Een veel ouder onderzoeksgebied is dat van de Brownse beweging. Rond 1828 zag de botanicus Brown door zijn microscoop stuifmeelkorrels bewegen in water met onregelmatige, onvoorspelbare bewegingen. Eén van de eerste kwantitatieve analyses van deze beweging werd in 1905 gemaakt door Einstein, met toepassingen in de natuurkunde. Later realiseerde men zich het belang van de Brownse beweging voor andere toepassingen, zoals bijvoorbeeld in de financiële economie, bij het berekenen van de waarde van opties en andere aan aandelen gerelateerde producten.

Bosbranden
Percolatietheorie en Brownse beweging lijken heel verschillende onderwerpen. Ongeveer vijf jaar geleden werd echter een belangrijk verband ontdekt door de wiskundige Oded Schramm. Dit leidde tot zeer belangrijke nieuwe ontwikkelingen in de theorie van percolatie op tweedimensionale roosters, zoals het expliciet kunnen berekenen van zogenaamde kritieke exponenten. 'De kans op een pad naar de rand van een cirkel met straal n is van de orde n tot de macht min 5/48. Dit nogal mystieke getal kon nu eindelijk echt wiskundig worden onderbouwd', aldus Van den Berg. Van den Berg wil de nieuwe ideeën onder andere toepassen op modellen van bosbranden.