Saccheri begon met een lijnstuk AB, dat doormidden gedeeld wordt op punt C. Vervolgens richtte hij op de eindpunten A en B van dit lijnstuk, lijnstukken van gelijke lengte |AC| op, die allebei loodrecht stonden op het lijnstuk AB. In de tekening zijn dat de lijnstukken AD en BE. Het afpassen van gelijke lengten gebeurt met een passer, het oprichten van een loodlijn ook. Vervolgens worden met een lineaal de punten D en E met elkaar verbonden tot het lijnstuk DE.
In zijn redenering over deze vierhoek zorgt Saccheri er natuurlijk voor dat hij alleen de postulaten I tot en met IV gebruikt. Wie meteen concludeert dat de vierhoek een rechthoek is beroept zich daarbij op het vijfde postulaat, en dat doet Saccheri uiteraard niet. Dus: wat kunnen we over deze vierhoek zeggen zonder ons te beroepen op postulaat V ?
Allereerst geldt dat hoek ADE (de hoek die AD maakt met DE) gelijk is aan hoek BED. Om dat te zien delen we het lijnstuk DE middendoor. Dat kan weer met passer en lineaal, en zonder een beroep op het vijfde postulaat. Het midden van DE noemen we F. Trek de lijnstukken DC, EC en CF. Zie de figuur hierboven.
De twee rechthoekige driehoeken ADC en BEC zijn congruent, want hoek DAC en hoek EBC zijn allebei recht, en dus gelijk (postulaat IV), de zijde DA is gelijk aan de zijde EB, en de zijde AC is gelijk aan de zijde BC. Hieruit volgt (Stelling 4 van de Elementen) dat hoek ADC gelijk is aan hoek BEC en dat zijde DC gelijk is aan zijde EC. Maar dan zijn de zijden van driehoek DCF zijde voor zijde gelijk aan de zijden van driehoek ECF. Dus ook deze driehoeken zijn congruent. Hieruit volgt dat hoek CDF gelijk is aan hoek CEF. We hebben nog steeds geen gebruik gemaakt van het vijfde postulaat. We hebben nu:
|